Мордкович А. Г., Солодовников А. С. Математический анализ: Учеб. для техникумов. — М.: Высш. шк, 1990.— 416 с: ил.






Учебник написан в соответствии с программой курса «Математический анализ» для техникумов по специальности «Прикладная математика». Он отличается высоким научно-методическим уровнем изложения материала. Помимо математического анализа, учебник включает такие разделы, как элементы математической логики, теории функций комплексной переменной. Изложение иллюстрируется большим количеством примеров. Настоящий учебник написан в соответствии с программой курса математического анализа для учащихся техникумов по специальности «Прикладная математика». Этот курс, согласно программе, включает не только традиционные разделы, такие, как введение в анализ, дифференциальное исчисление, интегральное исчисление и т. д., но и два других раздела — элементы математической логики и элементы теории функций комплексной переменной. Включение в курс математического анализа первого из них объясняется тем, что он дает учащемуся более полное представление о логических средствах, используемых в математических рассуждениях; кроме того, математическая логика используется в теории вычислительных машин, теории автоматов, в некоторых вопросах экономики. Вместе с тем учебник содержит также ряд тем школьного курса алгебры и начал анализа (прогрессии, степенная, показательная, логарифмическая, тригонометрические функции, тригонометрические уравнения, показательные и логарифмические уравнения и неравенства, преобразования графиков элементарных функций). Это, естественно, связано с особенностями программы курса, ориентированной на лиц, имеющих неполное среднее образование.
Методика изложения материала в учебнике определяется прежде всего тем, что книга предназначена для учащихся, не имеющих пока среднего образования, а потому не готовых к полноценному усвоению математического анализа в традиционном изложении. Поэтому авторы стремились к более тщательной проработке ведущих понятий, основанной на неформальных содержательных рассуждениях, активно использовали геометрические иллюстрации (их существенно больше, чем в традиционных курсах). Любая научная теория воспринимается нами как некоторая система утверждений. Истинность каждого из них, вообще говоря, нуждается в доказательстве. В отдельных случаях такое доказательство может проводиться опытным путем, но чаще всего оно достигается с помощью логических средств. Именно эти логические средства и изучает раздел математики, называемый математической логикой. Исходным понятием математической логики является понятие высказывания.
Определение 1. Высказыванием называется предложение, которое может
быть либо истинным, либо ложным. Примеры. 1. Предложение «Снег — белый» есть истинное высказывание.
2. Предложение «Волга впадает в Средиземное море» — ложное высказывание.
3. Предложение «2 + 2 = 10» — ложное высказывание.
Далеко не всякое предложение является высказыванием. В частности, вопросительные и восклицательные предложения не относятся к высказываниям. Например, по поводу предложения «Который час?» не имеет смысла ставить вопрос, истинно оно или ложно; то же самое относится, скажем, к предложению «Мойте руки перед едой!» Не являются высказываниями и такие предложения, которые служат определениями чего-либо, например: «Трапецией называется четырехугольник, две стороны которого параллельны».
Существуют предложения, которые безусловно являются истинными или ложными, однако в силу недостаточности наших знаний мы не можем в данный момент сказать точно, истинны они или ложны. Например, «Земля — единственная обитаемая планета во Вселенной» или «Всякое четное число есть сумма двух простых» (нерешенная до конца проблема теории чисел). Предложения такого типа мы также считаем высказываниями.
Из всех свойств высказывания нас будет в дальнейшем интересовать только одно: истинно оно или ложно. Все же прочие свойства высказывания, например особенности его грамматической формы, смысловое значение отдельных слов и всего высказывания в целом, будут оставаться как бы вне поля зрения.
В дальнейшем будем обозначать высказывания заглавными буквами латинского алфавита: Р, Q, R и т.д.